在交比 \((\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2;\ \pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4)\) 中,分号前的两个点 \(\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2\) 被称为基点偶(从名称来看,是因为前两个点常被用来作为参考基点),分号后的两个点 \(\pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4\) 被称为分点偶(顾名思义,分割直线的两个点)。四个共线点 \(\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2,\ \pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4\) 按照命名方式,在几何位置上并无限制。可能按顺序排列,也可能相互交错。我在上一篇文章《交比不变》中总结了交比的定义,这里要利用定义给出交比的性质。

选择直线 \(\pmb l\) 上任意两个参考点 \(\pmb a\) 和 \(\pmb b\), 按照统一的方式对 \(\pmb l\) 上的四个共线点 \(\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2,\ \pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4\) 进行参数化。得到 \(\pmb{p}_i=\pmb{a}+\lambda_i\pmb{b}\), 其中 \(i=1,2,3,4\) 。因此有:

\begin{equation} \label{eqn.point_cross3a} (\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2;\ \pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4) =\frac{(\lambda_3-\lambda_1)(\lambda_4-\lambda_2)}{(\lambda_3-\lambda_2)(\lambda_4-\lambda_1)} \end{equation}

使用 \(\overline{\pmb{ab}}\) 表示从 \(\pmb a\) 到 \(\pmb b\) 的有向线段长度,则交比又有几何定义:

\begin{equation} \label{eqn.point_cross4a} (\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2;\ \pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4) = \frac{\overline{\pmb{p}_1\pmb{p}_3} \cdot \overline{\pmb{p}_2\pmb{p}_4}}{\overline{\pmb{p}_2\pmb{p}_3} \cdot \overline{\pmb{p}_1\pmb{p}_4}} \end{equation}

交比的性质

令 \((\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2;\ \pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4)=r\), 由 \eqref{eqn.point_cross3a} 式可以得到交比的性质如下:

  1. 交换基点偶和分点偶,交比不变;\((\pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4;\ \pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2)=r\);
  2. 基点偶和分点偶内部同时互换,交比不变;\((\pmb{p}_2,\ \pmb{p}_1;\ \pmb{p}_4,\ \pmb{p}_3)=r\);
  3. 基点偶或分点偶内部互换,交比变成倒数;\((\pmb{p}_2,\ \pmb{p}_1;\ \pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4)=(\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2;\ \pmb{p}_4,\ \pmb{p}_3)=1/r\);
  4. 交换中间或者首尾两个点,交比变成 \(1-r\); \((\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_3;\ \pmb{p}_2,\ \pmb{p}_4)=(\pmb{p}_4,\ \pmb{p}_2;\ \pmb{p}_3,\ \pmb{p}_1)=1-r\);

四个点的排列共 24 种方式,所有交比只有 6 种不同的结果:\(r,\ 1/r,\ 1-r,\ (r-1)/r,\ 1/(1-r),\ r/(r-1)\) 。

特殊情形: 若共线的四点交比出现 \(0,\ 1,\ \infty\) 三者之一时,则说明四个点中有两个点重合;反之亦然。由 \eqref{eqn.point_cross3a} 式和交比性质,很容易验证此命题。

调和比: 若 \((\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2;\ \pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4)=-1\), 则称交比为调和比;称共线四点 \(\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2,\ \pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4\) 为调和点列(或称四点调和共轭)。由 \eqref{eqn.point_cross3a} 式可知,四个共线点 \(\pmb{p}_1,\ \pmb{p}_2,\ \pmb{p}_3,\ \pmb{p}_4\) 互异。根据交比的性质,构成调和比的四个点拥有三种可能的交比值:\(-1,\ 2,\ 1/2\) 。调和比是很重要的交比,因为有特殊的几何意义。若满足调和比的共线四点中 \(\pmb{p}_4\) 是无穷远点,则 \(\overline{\pmb{p}_2\pmb{p}_4}/\overline{\pmb{p}_1\pmb{p}_4}=1\) 。由 \eqref{eqn.point_cross4a} 式可知 \(\overline{\pmb{p}_1\pmb{p}_3}/\overline{\pmb{p}_2\pmb{p}_3}=-1\), 因此 \(\pmb{p}_3\) 是 \(\pmb{p}_1\) 和 \(\pmb{p}_2\) 的中点。

调和平均数与调和比

简便起见,四个共线点用 \(\pmb{A},\pmb{B},\pmb{C},\pmb{D}\) 表示(齐次坐标点),令 \(AB\) 表示从 \(\pmb A\) 到 \(\pmb B\) 的有向线段长度。若四点组成调和点列,则线段 \(AC\) 的长度为 \(AB\) 和 \(AD\) 的调和平均数,即:

\begin{equation} \label{eqn.harmonic_ratio1} \frac{2}{AC}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AD} \end{equation}

调和比的名称应该来源于此,下面证明满足关系 \eqref{eqn.harmonic_ratio1} 的四个点的交比为调和比。

证明:

由 \eqref{eqn.harmonic_ratio1} 可知 \(2AD\cdot AB=AC \cdot AD+AC\cdot AB\), 因为 \(AB=AC-BC\), 则有 \(AD\cdot AC-2AD\cdot BC=AC^2-AC\cdot BC\), 即 \(AC(AD-AC)=BC(2AD-AC)\) 。由于 \(CD=AD-AC\), 所以 \(AC\cdot CD-BC\cdot CD=BC\cdot AD\), 即:

\begin{equation} \label{eqn.harmonic_ratio2} AB\cdot CD=BC\cdot AD \end{equation}

再由 \(CD=BD-BC\), 得到 \((AC-BC)(BD-BC)=BC\cdot AD\) 。所以 \(AC\cdot BD-BC(AB+BC+BD)+BC^2=BC\cdot AD\), 显然 \(AD=AB+BD\), 则有:

\begin{equation} \label{eqn.harmonic_ratio3} AC\cdot BD=2BC\cdot AD \end{equation}

最终证得 \((\pmb{A},\ \pmb{B};\ \pmb{C},\ \pmb{D})=\frac{AC\cdot BD}{BC\cdot AD}=2\), 故满足调和比。事实上由 \eqref{eqn.harmonic_ratio2} 可知 \((\pmb{A},\ \pmb{C};\ \pmb{B},\ \pmb{D})=\frac{AB\cdot CD}{CB\cdot AD}=-1\), 命题亦得证。关系 \eqref{eqn.harmonic_ratio1},\eqref{eqn.harmonic_ratio2},\eqref{eqn.harmonic_ratio3} 等价。

圆和椭圆中的调和点列

调和点列可以由二次曲线的极点和极线构造出来。如图 1 所示,左边的二次曲线为圆,右边为更一般的椭圆。\(\pmb A\) 为极点,对应 \(\pmb A\) 的极线 \(\pmb l\) 交二次曲线于点 \(\pmb E\) 和 \(\pmb F\) 。因此 \(AE\) 和 \(AF\) 为二次曲线的两条切线,且 \(\pmb{E},\pmb{F}\) 为切点。过点 \(\pmb A\) 的直线 \(\pmb m\) 交二次曲线于 \(\pmb{B},\pmb{D}\) 两点,交极线 \(\pmb l\) 于 \(\pmb C\) 点。证明直线 \(\pmb m\) 上的四个点 \(\pmb{A},\pmb{B},\pmb{C},\pmb{D}\) 为调和点列。

Figure 1: 圆和椭圆中的调和点列

Figure 1: 圆和椭圆中的调和点列

证明:

当二次曲线为圆时,弦切角=所夹弧度数/2=圆周角;所以 \(\Delta ABE\sim\Delta AED,\ \Delta ABF\sim\Delta AFD\); 并且有 \(AE=AF\) 。要证明 \eqref{eqn.harmonic_ratio2} 式,须知 \(AB\cdot CD=BC\cdot AD\) 等价于 \(AB/AD=BC/CD\), 其中左边 \(=(AB/AE)(AE/AD)=(BE/ED)(AF/AD)=(BE/ED)(BF/FD)=(BE\cdot BF)/(ED\cdot FD)\) 。又因为 \(\angle EBF+\angle EDF=\pi\), 所以 \(\sin\angle EBF=\sin\angle EDF\) 。显然三角形的面积比 \(\frac{S_{EBF}}{S_{EDF}}=\frac{BE\cdot BF\sin\angle EBF}{ED\cdot FD\sin\angle EDF}=\frac{BC}{CD}\), 故 \eqref{eqn.harmonic_ratio2} 式成立。

当二次曲线为一般的椭圆时,几何关系就没那么简单了。这里使用齐次坐标,设二次曲线方程为:

\begin{equation} \label{eqn.qudric_curve} \pmb{X}^T\pmb{QX}=\pmb{0} \end{equation}

其中 \(\pmb Q\) 为实对称阵。根据极点和极线关系可知:

\begin{equation} \label{eqn.polar_line1} \pmb{l}=\pmb{QA} \end{equation}

点 \(\pmb{E},\pmb{F}\) 在 \(\pmb l\) 上,所以 \(\pmb{l}^T\pmb{E}=\pmb{l}^T\pmb{F}=0\), 即:

\begin{equation} \label{eqn.polar_line2} \pmb{A}^T\pmb{QE}=\pmb{A}^T\pmb{QF}=0 \end{equation}

又因为点 E,F 都在椭圆上,所以:

\begin{equation} \label{eqn.polar_line3} \pmb{E}^T\pmb{QE}=\pmb{F}^T\pmb{QF}=0 \end{equation}

由于 \(\pmb{A},\pmb{E},\pmb{F}\) 三个点不在同一条直线上,所以 \(\det(\pmb{A},\pmb{E},\pmb{F})\neq 0\), 即三个点的齐次坐标线性无关。因此,射影平面内的所有点都可以由这三个点的线性组合表示,平面坐标有两个自由度。令 \(\pmb{B}=\pmb{A}+u\pmb{E}+v\pmb{F}\), 则直线 \(\pmb{m}=\pmb{A}\times\pmb{B}=\pmb{A}\times(u\pmb{E}+v\pmb{F})\) 。所以直线 \(\pmb m\) 和 \(\pmb l\) 的交点为: \[ \pmb{C}=\pmb{m}\times\pmb{l}=[\pmb{A}\times(u\pmb{E}+v\pmb{F})]\times(\pmb{QA})=(\pmb{A}^T\pmb{QA})(u\pmb{E}+v\pmb{F})-(u\pmb{E}^T\pmb{QA}+v\pmb{F}^T\pmb{QA})\pmb{A} \] 上式推导用到了公式:\((\pmb{a}\times\pmb{b})\times\pmb{c}=(\pmb{a}^T\pmb{c})\pmb{b}-(\pmb{b}^T\pmb{c})\pmb{a}\) 。由于 \(\pmb{E}^T\pmb{QA}\) 是数,数的转置等于本身,所以 \(\pmb{E}^T\pmb{QA}=\pmb{A}^T\pmb{QE}=0\), 得到:

\begin{equation} \label{eqn.polar_line4} \pmb{C}=(\pmb{A}^T\pmb{QA})(u\pmb{E}+v\pmb{F})=u\pmb{E}+v\pmb{F} \end{equation}

将点 \(\pmb B\) 代入椭圆方程 \eqref{eqn.qudric_curve} 式得到:

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad (\pmb{A}^T+u\pmb{E}^T+v\pmb{F}^T)\pmb{Q}(\pmb{A}+u\pmb{E}+v\pmb{F}) \\\
&=\pmb{A}^T\pmb{QA}+u\pmb{A}^T\pmb{QE}+v\pmb{A}^T\pmb{QF}+u\pmb{E}^T\pmb{QA}+u^2\pmb{E}^T\pmb{QE}+uv\pmb{E}^T\pmb{QF}+v\pmb{F}^T\pmb{QA}+uv\pmb{F}^T\pmb{QE}+v^2\pmb{F}^T\pmb{QF} \\\
&=0 \end{aligned} \end{equation}

将 \eqref{eqn.polar_line2} 和 \eqref{eqn.polar_line3} 代入上式简化后得到 \(\pmb{A}^T\pmb{QA}+2uv\pmb{E}^T\pmb{QF}=0\), 其中 \(\pmb{A}^T\pmb{QA}\) 和 \(\pmb{E}^T\pmb{QF}\) 是两个已知数,因此得到二次曲线上点坐标的约束条件:

\begin{equation} \label{eqn.qudric_constraint} uv=-\frac{\pmb{A}^T\pmb{QA}}{2\pmb{E}^T\pmb{QF}} \end{equation}

因此按照 \(\pmb{B}=\pmb{A}+u\pmb{E}+v\pmb{F}\) 的形式进行参数化得到的椭圆点满足 \eqref{eqn.qudric_constraint} 式,即系数 \(u\) 和 \(v\) 的积为定值。令点 \(\pmb{D}=\pmb{A}+s\pmb{C}=\pmb{A}+su\pmb{E}+sv\pmb{F}\), 所以 \(s^2 uv=uv\), 即 \(s^2=1\), 得到 \(s=1\) 或-1。若 \(s=1\), 则 \(\pmb B\) 点和 \(\pmb D\) 点重合;这时 \(\pmb{B},\pmb{C},\pmb{D}\) 一起重合到 \(\pmb E\) 或 \(\pmb F\) 点,\(\pmb{A},\pmb{B},\pmb{C},\pmb{D}\) 退化为两个点。若 \(s=-1\), 则 \(\pmb{D}=\pmb{A}-u\pmb{E}-v\pmb{F}\) 。以 \(\pmb A\) 和 \(\pmb B\) 为参考点,对共线四点进行参数化得到:

\(\pmb{C}=\pmb{B}-\pmb{A}=\pmb{A}-\pmb{B}\), 所以 \(\lambda_1=-1\);

\(\pmb{D}=2\pmb{A}-\pmb{B}=\pmb{A}-\pmb{B}/2\), 所以 \(\lambda_2=-1/2\);

最终得到四点的交比 \((\pmb{A},\ \pmb{B};\ \pmb{C},\ \pmb{D})=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=2\), 故命题得证。根据交比的性质 \((\pmb{A},\ \pmb{D};\ \pmb{C},\ \pmb{B})=2/(2-1)=2\) 。由图 1 可知,当 \(\pmb A\) 点位于无穷远处,则 \(AF\) 平行于 \(AE\), 直线 \(\pmb m\) 经过二次曲线的中心点 \(\pmb C\), 线段 \(BD\) 为直径。